مفاهيم أساسية فى الجبر

وحدات البناء الاساسية

1- الفئة Set : هى عبارة عن ثُلة collection من الاشياء التى ليس من الضروري ان يربط بينها رابط مشترك او تحقق اى خواص اضافية فمثلاً ثُلة من n شخص تمثل فئة من الاشخاص و كذلك ايضاً ثُلة من n نقطة تمثل فئة من النقاط. و عدد العتاصر n فى الفئة يمكن ان يكون منتهياً او لانهائياً.
................................... ................................... ................................... ......................
2-الزمرة Group :
نقول ان G تمثل زمرة اذا كان لدينا:
a- فئة من العناصر تنتمي للزمرة $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif.latex?g_1,g_2,..$
b-عملية ثنائية $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$ تسمى بعملية الضرب على الزمرة
وتحققت الشروط :
A1- الاغلاق Closure
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
A2-العملية التجميعية Associativity
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
A3-وجود عنصر محايد $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
A4- وجود معكوس وحيد
لكل عنصر $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$ يوجد معكوس وحيد $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$ يرمز له بـ $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$ و بحيث
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$

مثال(1):
فئة كل التبديلات الممكنة للنقاط 1, 2 , 3 تشكل زمرة تسمى بزمرة التباديل $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
لاحظ ان العنصر المحايد هو عملية عدم اجراء التبديل اى ان النقطة 1 تتحول لمكان النقطة 1 والنقطة 2 تتحول الى مكان النقطة 2 و اخيراً النقطة 3 تتحول الى مكان النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كل لدينا الترتيب (123) وبعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (123) و بالطبع فان هذا التأثير يمثل العنصر المحايد ونرمز له بـ
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
يمكن تبديل النقطتين 1 و 2 وترك النقطة 3 فى مكانها اى ان النقطة 1 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 3 تتحول الى النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كان لدينا الترتيب (123) و بعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (213) وهذا العنصر يرمز له بـ
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
يمكن تثبيت النقطة 2 و تبديل النقاط 1 و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
ويمكن ايضاً تثبيت النقطة 1 و تبديل النقاط 2و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
يمكن تبديل جميع النقاط بحيت تتحول اى نقطة الى مكان النقطة التالية فى الترتيب اى تتحول النقطة 1 الى النقطة 2 و تتحول النقطة 2 الى النقطة 3 و تتحول النقطة 3 الى النقطة 1
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
و اخيراً تبديل جميع النقاط بحيث ان اى نقطة تتحول الى مكان النقطة السابقة لها فى الترتيب فمثلاً النقطة 3 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 1 تتحول الى النقطة 3 اى ان
$مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$

هل يمكن اضافة عنصر آخر؟
اوجد حاصل الضرب $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$ . ما الذى يمكن استنتاجه؟
اوجد حاصل الضرب $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$ . ماذا تستنتج؟
ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$

مثال(2):
فئة الاعداد الحقيقية تشكل زمرة تحت عملية الجمع الاعتيادي +
العنصر المحايد هو الـ0
لكل عدد حقيقي a يوجد عدد وحيد حقيقي a- يمثل معكوسه الجمعي

مثال(3) فئة الاعداد الحقيقة باسثناء الـ 0 تشكل زمرة تحت عملية الضرب الاعتيادي
العنصر المحايد هو الـ 1
لكل عنصر a يوجد عنصر وحيد $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$ يمثل المعكوس الضربي

سؤال: لماذا تم استبعاد الـ 0 ؟

مثال(4):
فئة كل المصفوفات الحقيقية المربعة $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$ الغير شاذة $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$ تشكل زمرة تحت عملية ضرب المصفوفات
العنصر المحايد هو مصفوفة الوحدة
طالما ان هذه المصفوفات غير شاذة فان لكل مصفوفة يوجد معكوس

فى الزمر التى فى الامثلة 2 و 3 نجد ان الترتيب الذى نجري به العملية الثنائية غير مهم و لذلك نقول انها زمر ابدالية

A5- الخاصية التبادلية commutativity: اذا حققت الزمرة الخاصية $مفاهيم أساسية فى الجبر Gif$
فاننا نقول ان الزمرة G زمرة ابدالية Abelian
ومن الواضح ان الزمر فى الامثلة 1 و 4 هى زمر غير ابدالية (تأكد منها بنفسك)

يسلموووووووو مون

» الجبر رياضيات
» مفاهيم خاطئه يجب تصحيحها
» ستة مفاهيم مدمرة للعلاقة الزوجية
» آجعلي الصدق صفة أساسية فى طفلك.
» محاضرة ،، مفاهيم مغلوطة ،، د. عمر عبدالكافي.